Calcul matriciel 2

Exercices corrigés

À la manière du déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}}

non constante.
On suppose que :

{\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}

.
Montrer que

{A\in E}

est inversible

{\Leftrightarrow D(A)\neq 0}

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Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

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Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

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Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

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Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

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Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

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4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

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Une famille de matrices 3×3

(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices

M(a)=

{\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}

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Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

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Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

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Puissances d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^{n}}

pour

{n\in\mathbb{N}}

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Matrices A,B telles que AB=A+B

(Oral Mines Telecom)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB=A+B}

. Montrer que

{AB=BA}

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Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

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Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

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Matrices bistochastiques, épisode 9

Soit

{B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

la matrice de terme général

{(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}}

définie par:

{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}

On diagonalise

B_n

, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.

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Matrices bistochastiques, épisode 8

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5, Ep6, Ep7.
On étudie un algorithme de décomposition d’une matrice

\mu

-magique sous la forme d’un barycentre de matrices de permutation, et on illustre cet algorithme à l’aide du langage Python.

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Matrices bistochastiques, épisode 7

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5, Ep6.
Écrire une fonction Python traverse d’argument une matrice carrée

{A=(a_{i,j})}

et renvoyant (si elle existe) la première permutation

{\sigma}

(au sens lexicographique) telle que les

{a_{\sigma(j),j}}

soient non nuls.

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Matrices bistochastiques, épisode 6

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

.
On sait que

{A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}

, (avec

{\alpha_k>0}

{\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}

, les

{P_k}

matrices de permutations).
On montre ici que

{m}

peut être rendu inférieur ou égal à

{(n\!-\!1)^2\!+\!1}

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Matrices bistochastiques, épisode 5

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice

A

peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.

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Matrices bistochastiques, épisode 4

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et pour

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

, on note

{\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}

.
On dit que

{A}

est traversable s’il existe

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

telle que

{\sigma(A)\ne0}

.
On montre ici que toute matrice magique de somme

{\mu>0}

(et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

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