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Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.