Calcul matriciel

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A’,B’)=F(AA’,BB’)}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?

Matrices bistochastiques, épisode 9

Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.

Matrices bistochastiques, épisode 4

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable