Mpsi Pcsi
Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Analyse d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel

{c\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{(E) :x\sin x = c\cos x}

, d’inconnue

{x\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Montrer que (E) a une unique solution

{x_n}

dans chaque

{I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[}

(

{n\in\mathbb{N}}

).
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^3}}

➡️

Développement d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que :

{\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}

.
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^2}}

➡️

Deux suites récurrentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\left(r_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

de limite

{r>0}

.
On pose

{\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}}

{\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}}

est monotone.
Donner sa limite, et

{k>0}

tel que

{b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}

➡️

Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\alpha ,\beta}

dans

{\mathbb{R}^{+*}}

. On pose

{a_{1}=b_{1}=1}

puis :

{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto a_{n+1}/a_{n}}

est monotone.
Montrer qu’elle converge et que

{b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

➡️

Essouflement des noyaux

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On note

{\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}

Montrer que

{(d_k)}

est décroissante.

➡️

Calcul de la limite d’une somme de….

(Oral Tpe)
On pose

{u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}

.
Déterminer la limite de

{u_n}

quand

{n\to+\infty }

➡️

Une recherche d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer que :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Un calcul d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue

{P\in\mathbb{R}[X]}

définie par

{(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}

➡️

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

. Pour

{x\in \mathbb{R}^{+}}

, on pose :

{F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}

On suppose que

{f}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{F}

?
On suppose que

{F}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{f}

?
On suppose que

{g}

a une limite finie en

{+\infty }

.
Déterminer la limite de

{f}

{+\infty }

➡️

Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

➡️

Indépendance d’une famille de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(f_{1},\ldots,f_{n})}

une famille de fonctions de

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe

{n}

réels

{x_{1},\ldots,x_{n}}

tels que la matrice des

{f_{i}(x_{j})}

soit inversible dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

➡️

Réciproque de P ↦ P-P’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B\in \mathbb{R}[X]}

.
Montrer :

{\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}

.
Montrer que si

{B\ge0}

sur

{\mathbb{R}}

, alors

{A}

aussi.

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Un produit trigonométrique

(oral École Navale)
Pour

{0\le k\le n-1}

, soit

{\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}

.
Avec

{n}

impair, calculer

{P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}

.
Exprimer

{P}

en fonction de

{\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}

➡️

Équivalence d’équivalents

(oral Centrale)
Pour toute suite réelle

{(u_{n})}

, on étudie la propriété (P) suivante :

{u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}

➡️

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

➡️