Deux déterminants reliés
(Oral X-Cachan)
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Mpsi Pcsi
Tirages dans une urne
(Oral Ccp)
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Trace de M → AMB
(Oral Ensam)
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Deux sommes directes
(Oral Centrale)
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.
Le cousin de Vandermonde
(Oral Centrale)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Primitives de (x+√(x^2-1))^3
Racine de matrice nilpotente
(Oral Ensam)
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Recherche de rep-units
On admet que tout {n\in\mathbb{N}} impair non multiple de {5} a un multiple {N} ne s’écrivant (en base {10}) qu’avec des {1}. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de N, et d’étudier pour quelles valeurs de n l’entier N a une longueur record
Élimination de jetons sur un cercle
(Oral Ensam)
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
Déterminant et coefficients binomiaux
(Oral Ensam)
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Rang et inégalités
(Oral Ensam)
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que
{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.
Répartition de a*n boules dans n urnes
(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Une forme linéaire sur IR[X]
(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Moyenne de permutations
(Oral Centrale)
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Réduction simultanée
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Une série numérique
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Une symétrie orthogonale
(Oral Centrale)
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Minimum dans un tirage aléatoire
(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.