Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

.
1. Montrer :

{\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}

.
2. Montrer :

{\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}

.
3. On pose

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}

.
Montrer que

{S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}}

existe.
Calculer

{(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}}

tel que

{S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}

➡️

Mouvement circulaire (bis)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}}

une solution de

{(S):\;X'=AX}

, avec

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
1. Montrer que

{\left\|{X(t)}\right\|}

est constant
2. Si

{a\in\text{Ker}(A)}

, montrer que

{\left({X(t)}\mid{a}\right)}

est constant
3. En déduire que le mouvement de

{X(t)}

est circulaire

➡️

Mouvement circulaire

(Oral Ccp)
Soit

{(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}

{\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}

Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement

{(S)}

➡️

Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit

{I_{n}}

le nombre d’involutions de

{[\![1,n]\!]}

avec

{I_{0}=1}

.
1. Donner

{I_{1},I_{2},I_{3}}

. Montrer :

{I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}

.
2. Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}}

est de rayon

{R > 0}

.
3. Calculer

{(1\!+\!x)S(x)}

et en déduire

{S(x)}

{I_{n}}

➡️

Équation différentielle d’ordre 3

(Oral Ccp)
Soit

{(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}

.
On pose

{X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}

.
1. Montrer que

{(E)}

s’écrit

{X'=AX}

.
2. Trigonaliser

{A}

, puis résoudre

{(E)}

➡️

Trace et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_3(\mathbb{C})}

telle que

{\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}

.
Montrer que

{\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}

➡️

Formule de Stirling

On démontre ici l’équivalent :

{n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}

➡️

Convergence uniforme non normale

(Oral Ccp)
On définit les

x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n}

est CVU mais pas CVN sur

\mathbb{R}

➡️

Ouverts et fermés à la fois

Soit

{E}

un espace vectoriel normé. Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont

{\emptyset}

{E}

➡️

Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

➡️

Développement en série entière

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}

➡️

Fonction continue non C1

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

définie sur

\mathbb{R}^2

par

{f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}}

{(x,y)\ne (0,0)}

, et

{f(0,0) = 0}

.
La fonction

{f}

est-elle de classe

{{\mathcal C}^{1}}

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

{B=}

{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}

.
À quelle condition

{B}

est-elle diagonalisable?

➡️

Matrice de projecteur

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}

➡️

Fonctions équi-lipschitziennes

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{(f_n)_{n\geq 0}}

une suite de fonctions

{M}

-lipschitziennes sur

{[0,1]}

, simplement convergente vers

{f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}

.
Montrer que la convergence est uniforme.

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Ensam)
Étudier

{x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}

➡️

Matrices de trace nulle (bis!)

(Oral Centrale)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{n\ge1}

, telle que

{\text{tr}(M)=0}

.
Montrer qu’il existe

{P\in O(n)}

telle que

{P^{\top}MP}

soit de diagonale nulle.

➡️

Matrices de trace nulle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, avec

{n\ge1}

. On suppose

{\text{tr}(M)=0}

. Montrer que

{M}

est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.

➡️

Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

. On suppose que

{B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable et que

{I_{n}-A}

est inversible.

➡️