Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

une matrice nilpotente.
Soit

{p}

son indice de nilpotence. Montrer que

{p\leq 3}

.
On suppose

{p=3}

. Montrer que

{A}

est semblable à

{-A}

si et seulement si

{\det A=\text{tr}\,A=0}

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Un produit trigonométrique

(oral École Navale)
Pour

{0\le k\le n-1}

, soit

{\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}

.
Avec

{n}

impair, calculer

{P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}

.
Exprimer

{P}

en fonction de

{\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}

➡️

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

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Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

➡️

Polynômes scindés simples (ou pas)

(Oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}

. Existe-t-il toujours

{\lambda\in\mathbb{K}}

tels que

{P(X)-\lambda}

soit scindé simple dans

{\mathbb{K}[X]}

? (distinguer

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

puis

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

➡️

Opérateur Delta sur les polynômes

(Oral Centrale)
Sur

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, avec

{n\ge1}

, on pose

{\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}

Montrer que

{\Delta}

est nilpotent. En déduire :

{\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}

➡️

Quelques rayons de convergence

Cinq exercices sur le thème « Rayon de convergence de séries entières ».

➡️

Endomorphismes de ℝ[X]

On étudie ici les éléments propres de deux endomorphismes de

{\mathbb{R}[X]}

➡️

Exercices sur la réduction (2/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B}

diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

.
On suppose

{\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }

.
Soit

{N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}}

{M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}

Montrer que

{M\;\text{et}\;N}

sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

➡️

Droite ou plan stable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel de dimension

{n\geq 2}

.
Montrer que tout endomorphisme de

{E}

possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

➡️

P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. On suppose qu’il existe

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{P(A)}

soit diagonalisable et

{P^{\prime }(A)}

inversible.
Montrer que la matrice

{A}

est diagonalisable.

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Diagonalisabilité par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{AB=BA}

Soit

{M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Condition pour que

{M}

soit diagonalisable.

➡️