Concours Mines-Ponts

Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Une équation intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.

Suites lentement convergentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.

Deux suites récurrentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.

Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}.
Soit {E} l’ensemble des vecteurs propres unitaires de {A}. Pour {X\in E}, on pose :{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}Montrer que {m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}.