Ouverts et fermés à la fois
Soit {E} un espace vectoriel normé. Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont {\emptyset} et {E}.
Mathprepa Exercices corrigés
Pas de sev stable de dim ≥ 1
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Déterminant variable ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Hyperplans et matrices inversibles
Soit H un hyperplan quelconque de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que H contient au moins une matrice inversible.
Montrer que H contient au moins une matrice inversible.
Lancer de dés pipés
(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Développement en série entière
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
Fonction continue non C1
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f} définie sur \mathbb{R}^2 par {f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}} si {(x,y)\ne (0,0)}, et {f(0,0) = 0}.
La fonction {f} est-elle de classe {{\mathcal C}^{1}}?
Soit {f} définie sur \mathbb{R}^2 par {f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}} si {(x,y)\ne (0,0)}, et {f(0,0) = 0}.
La fonction {f} est-elle de classe {{\mathcal C}^{1}}?
Diagonalisation par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Matrice de projecteur
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Un calcul de déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
Fonctions équi-lipschitziennes
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {M}-lipschitziennes sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {M}-lipschitziennes sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.
Une intégrale à paramètre
(Oral Ensam)
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}
Calcul d’une espérance
Une urne contient {b} boules blanches et {r} rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.
Matrices de trace nulle (bis!)
(Oral Centrale)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Matrices de trace nulle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, avec {n\ge1}. On suppose {\text{tr}(M)=0}. Montrer que {M} est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, avec {n\ge1}. On suppose {\text{tr}(M)=0}. Montrer que {M} est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.
Une série génératrice
(Oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.
Le coefficient trinomial central
(oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Diagonalisation et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.
Convergence uniforme
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions croissantes et continues sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f} continue. Montrer que la convergence est uniforme.
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions croissantes et continues sur {[0,1]}, simplement convergente vers {f} continue. Montrer que la convergence est uniforme.
Un système différentiel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.