Mp/Pc/Psi
Matrices nilpotentes de même rang
(Oral Centrale)
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Convergence uniforme et extrémas
(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Une suite de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
M^2 diagonalisable => M ?
(Oral Telecom Sud Paris)
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Un polynôme caractéristique
(Oral Tpe)
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Reste d’une série de Riemann
(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Endomorphisme et dérivation
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Spectre d’un endomorphisme intégral
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Recherche de sous-espaces stables
(Oral Ccp)
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Réduction endomorphisme matriciel
(Oral Ccp)
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Matrices stochastiques, valeurs propres
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Série entière et coefficients binomiaux
(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
Série de fonctions, télescopique
(Oral Centrale)
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Caractérisation de tr(A)=0
(oral Centrale)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Montrer : {\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Montrer : {\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Un développement en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.