Concours Inp
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des écoles d’ingénieurs du « Concours Commun Polytechniques » (ou encore INP)

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}

.
Étudier

(u_n)

, puis

{\displaystyle\sum u_{n}}

{\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}

➡️

DL d’une bijection réciproque

(oral Ccp)
Montrer que

{f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)}

est une bijective de

{]-1,+\infty[}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{g=f^{-1}}

est

{{\mathcal C}^{\infty}}

. Donner son DL en

0

à l’ordre

{3}

➡️

Existence d’un supplémentaire commun

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Série entière et produit de Cauchy

(Oral Ccp)
On définit

{u_{0}=3}

{u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}

.
Écrire

{f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}

à l’aide de fonctions usuelles

➡️

Reste d’une série de Riemann

(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de

{R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de

{S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Image et noyaux imposés

(Oral Ccp)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces d’un espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Condition pour que :

{\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

➡️

Matrices stochastiques, valeurs propres

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, à coefficients dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, la somme de chaque ligne valant

{1}

.
Montrer que

{\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}

, avec

{\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Pour

n\in\mathbb{N}

x\ge0

, on pose

{f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}

.
Continuité de

{S=\displaystyle\sum f_n}

, limites en

1

et en

+\infty

➡️

Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

➡️

Tirages dans une urne

(Oral Ccp)
Dans une urne de

{n\!-\!1}

boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang

T

d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.

➡️