Réduction de matrices par blocs

Exercices corrigés

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.