Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
Réduction de matrices par blocs
Puissances d’un endomorphisme de L(E)
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs {((A,0),(0,0)) } et {((A,B),(0,0))} soient semblables.
Diagonalisation d’une matrice en Z
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Matrices semblables, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Diagonalisabilité par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Produit de Kronecker
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Réduction d’endo. nilpotent
(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale Mp)
Conditions équivalentes pour que des matrices par blocs soient semblables.
Conditions équivalentes pour que des matrices par blocs soient semblables.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Diagonalisation et blocs
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Endomorphismes tels que f2 = -Id
(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Réduction d’une matrice en L
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Un endomorphisme diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
Diagonalisation par blocs
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
Diagonalisabilité et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Réduction d’une matrice par blocs
(Oral Ensam)
Éléments propres de {A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}.
Éléments propres de {A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}.
Réduction simultanée
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Diagonalisation de M->AM+MB
(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.
Diagonalisation par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Diagonalisation et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.