Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)

  1. Soient {a,b,c \in \mathbb{C}}.

    On pose {M=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}}.

    Les matrices {M} et {N} sont-elles semblables ?

    Si oui, donner {P} telle que {PMP^{-1}=N}.

  2. Soient {A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} et : {M\!=\!\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\,N\!=\!\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\! \in\! \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}Montrer l’équivalence des conditions :

    • les matrices {M} et {N} sont semblables.
    • il existe {X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que {AX=B}
    • {\text{rg}(A \mid B)=\text{rg}(A)}
  3. On définit les matrices {A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}\!\!,\,B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ a & 7 & 2 \end{pmatrix}}On pose {M\!=\!\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} et {N\!=\!\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}.

    Les matrices {M,N} sont-elles semblables?

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