Polynôme caractéristique

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

➡️

Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

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Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

➡️

Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

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Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

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Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
Encadrement de valeurs propres non nulles de matrices à coefficients entiers.

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Polynôme caractéristique de M^-1

Soit

{M}

une matrice de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de

{M^{-1}}

en fonction de celui de

{M}

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Polynômes caractéristiques de AB et BA

Soient

{A}

{B}

deux matrices de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

{AB}

{BA}

ont le même polynôme caractéristique.

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

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Polynômes caractéristique et minimal

(Oral Ccp)
Soit

A

dans

{\mathcal M}_{5}(\mathbb{R})

inversible, telle que

\text{tr}(A)=6

{A^{3}-3A^{2}+2A=0}

. Donner le polynôme caractéristique de

{A}

, et son polynôme annulateur unitaire minimal.

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Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️