Mathprepa Exercices corrigés
Intégrale trigonométrique à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Un exercice très complet, pour calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.
Intégrale et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
On admet que {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}.
En déduire {I(x)}.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.
Intégrale à paramètre et série
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.
Intégrales généralisées et séries
(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».
Calcul d’une intégrale complexe
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Calculer {T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}.
Intégrale de t^(t^x)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.
Intégrabilité d’une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.
Diagonalisation d’une matrice en Z
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Le centre d’appels téléphoniques
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Une moyenne de distances
(Oral CCInp)
Soit {A} un sommet d’un polygône régulier convexe {\mathcal{P}_n} à {n} sommets, de centre {\Omega}.
On note {R=d(\Omega,A)}. Calculer la moyenne {M_n} des distances de {A} aux autres sommets de {\mathcal{P}_n}.
Soit {A} un sommet d’un polygône régulier convexe {\mathcal{P}_n} à {n} sommets, de centre {\Omega}.
On note {R=d(\Omega,A)}. Calculer la moyenne {M_n} des distances de {A} aux autres sommets de {\mathcal{P}_n}.
Un exercice Rock’n’Rolle
(Oral Tpe)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Probabilités et diagonalisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n+1]]}, avec :{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}Loi de {X}? {X,Y} sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n+1]]}, avec :{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}Loi de {X}? {X,Y} sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.
Rétablir l’honnêteté d’une pièce
(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
Tchebychev le bien aimé
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}
Étude d’extrema locaux
(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}} et {f(0,0)=1}
Continuité et dérivées partielles de {f} en {(0,0)}?
Déterminer les extrema de {f} sur {\mathbb{R}^{2}}.
On pose {f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}} et {f(0,0)=1}
Continuité et dérivées partielles de {f} en {(0,0)}?
Déterminer les extrema de {f} sur {\mathbb{R}^{2}}.
M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))} et {M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}.
On suppose : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}.
On suppose : {M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}.
Équivalents d’intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
On pose {F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Trouver un équivalent de {F} en {+\infty}, et en {0}.
On pose {F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Trouver un équivalent de {F} en {+\infty}, et en {0}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.
Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.
Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.
Une autre intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts)
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.