Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Diagonalisation d’une matrice en zig-zag

(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre

2n

) :

{A_n=}

{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

➡️

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

➡️

Polynômes caractéristique et minimal

(Oral Ccp)
Soit

A

dans

{\mathcal M}_{5}(\mathbb{R})

inversible, telle que

\text{tr}(A)=6

{A^{3}-3A^{2}+2A=0}

. Donner le polynôme caractéristique de

{A}

, et son polynôme annulateur unitaire minimal.

➡️

Transposition et diagonalisation

(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de

{\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}

➡️

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

{p_{n+2}}

{p_{n+1}}

{p_{n}}

➡️

Loi définie par sa fonction génératrice

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la v.a.r.

X

définie par

{G_{X}(t)=\dfrac{1}{(2-t)^{\alpha}}}

➡️

Diagonalisation et puissances

(Oral Ccp)
Soit

{M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Diagonaliser

{M}

. Calculer

{M^{p+1}}

pour tout

{p\ge0}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Un problème de minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

à valeurs propres strictement positives.
Soit

{B\in \mathbb{R}^{n}}

, et

{f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}

définie par

{f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}

.
Montrer que

{f}

possède un minimum et le déterminer.

➡️

Décomposition en suites monotones

(oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}

. Montrer qu’il existe des suites

{v}

{w}

respectivement croissante et décroissante telles que

{u=v+w}

➡️

Égalités dans un jeu à deux

(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après