Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Une condition de nilpotence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Alors

{M}

est nilpotente

{\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}

➡️

Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

➡️

Une factorisation de polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{n\in \mathbb{N}^{\ast }}

. On considère le polynôme :

{\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}

Trouver les racines de

{P_n}

et le factoriser dans

{\mathbb{C}[X]}

➡️

Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan )
Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

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Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.

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Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan sur une comparaison de deux normes de fonctions.

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Produit de Hadamard dans S_n,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

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Matrices complètement inversibles

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur les matrices « complètement inversibles »

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Points extrémaux d’une partie convexe

(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan 2017 sur les points extrémaux d’un convexe.

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Dénombrements de parties (2/2)

Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (2/2)

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Dénombrements de parties (1/2)

Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (1/2)

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Dénombrements d’applications

Exercices sur le thème « dénombrements d’applications »

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Dénombrements divers (2/2)

Exercices sur le thème « dénombrements divers » (2/2)

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Dénombrements divers (1/2)

Exercices sur le thème « dénombrements divers » (1/2)

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Intégrales fonctions de leurs bornes

Exercices sur le thème « Intégrales fonctions de leurs bornes »

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Intégration sur un segment (2/2)

Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (2/2)

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Intégration sur un segment (1/2)

Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (1/2)

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Sommes de Riemann (3/3)

Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (3/3)

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Sommes de Riemann (2/3)

Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (2/3)

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