Théorème de Darboux
Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Mpsi Pcsi
Une équation dans ℂ
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre dans {\mathbb{C}} : {\biggl(\dfrac{1-iz}{1+iz}\biggr)^{n}=\dfrac{1-ia}{1+ia}\ } ({a \in\mathbb{R}},{n\in\mathbb{N}^{*})}
Résoudre dans {\mathbb{C}} : {\biggl(\dfrac{1-iz}{1+iz}\biggr)^{n}=\dfrac{1-ia}{1+ia}\ } ({a \in\mathbb{R}},{n\in\mathbb{N}^{*})}
Polynômes et dérivations
(oral Centrale)
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Polygônes réguliers
((Oral X-Cachan)
Soit \omega=\text{e}^{2i\pi/n} et {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.
Soit \omega=\text{e}^{2i\pi/n} et {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.
Produits de sommes de puissances
(oral Centrale)
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Un développement asymptotique
(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.
On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.
Un calcul de primitive
Équation en arc tangente
(oral Mines-Ponts)
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.
Polynômes scindés simples
(oral Mines-Ponts)
Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.
Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.
Une équation fonctionnelle
(oral Mines-Ponts)
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}
Calcul d’une intégrale
(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Déterminant variable ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Hyperplans et matrices inversibles
Soit H un hyperplan quelconque de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que H contient au moins une matrice inversible.
Montrer que H contient au moins une matrice inversible.
Lancer de dés pipés
(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Matrice de projecteur
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Un calcul de déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
Calcul d’une espérance
Une urne contient {b} boules blanches et {r} rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.
Le coefficient trinomial central
(oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Entiers premiers 4m-1
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme {4m-1}.
Entiers premiers 4m+1
Montrer qu’il existe une infinité d’entiers premiers de la forme {4m+1}.