Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Caractérisation de somme directe

Soit

{A,B,C,D}

des sous-espaces vectoriels de

{E}

.
Montrer que

{A+B+C+D}

est directe si et seulement si :

{\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}

➡️

Une série de fonctions alternée

(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en

0^+

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}

➡️

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

➡️

Continuité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et continuité de

{\displaystyle\sum \dfrac{1}{1+e^{nx}}}

➡️

Récurrence vectorielle

(Oral Ccp)
On étudie une récurrence vectorielle

U_{n+1}=AU_{n}

en diagonalisant la matrice

A

➡️

Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)
On calcule

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution réelle de

nx^{3}+n^{2}x=2

.
Étudier

{(u_{n})_{n\ge1}}

, puis la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}}

selon

{\alpha}

➡️

Deux sommes de séries numériques

(Oral Ccp)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}

, et

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)}

pour

{-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

➡️

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

➡️

Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et caractère

{{\mathcal C}^1}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}

➡️

Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

➡️

Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Pour

{|a|\lt1}

x\gt0

, étudier

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

, notamment en

0^+

+\infty

➡️

Limite d’une intégrale à paramètre

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

➡️

Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

➡️

Une somme de série entière

(Oral Ccp)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}

, où

{a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}

➡️

Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

➡️