La somme des k^2 binom(n,k)
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Concours Mines-Ponts
Valeur propre commune
(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Série entière et série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Un développement en série entière
Comparaison de rayons de CV
(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Étude de rayons de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Une série entière millésimée
(Oral Mines Ponts)
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Une suite récurrente de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Équivalents et polynômes
(oral Mines-Ponts)
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Une condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Réduction de M -> AMB
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Déterminant puis valeurs propres
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Somme d’une série numérique
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.