Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Suites numériques 2
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Suites harmoniques et logarithme
(Oral Centrale)
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Suites lentement convergentes
(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Limite d’une suite de points fixes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Logique et suites numériques
On étudie ici les liens logiques entre propriétés des suites de réels, ainsi que l’utilisation des quantificateurs pour décrire ces propriétés.
Somme des inverses des « k parmi n »
Suite presque toujours périodique
(oral Centrale Mp)
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Deux suites adjacentes
(oral Ccp)
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Décomposition en suites monotones
(oral Mines-Ponts)
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Suites C-convergentes
(oral Centrale)
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.