Suites numériques 2

Exercices corrigés

Suites lentement convergentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.