Conditions de diagonalisabilité

Exercices corrigés

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?