Réduction de matrices par blocs

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Réduction de matrices par blocs ».

Réduction de matrices par blocs

(Oral Centrale) Si

{M}

est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs

{N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}

. On étudie la diagonalisabilité de

{N}

, et son polynôme minimal.

➡️

Puissances d’un endomorphisme de L(E)

(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de

{\mathcal{L}(E)}

défini par

{f(u)=(au+ua)/2}

, selon les propriétés de l’endomorphisme

{a}

{E}

➡️

Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs

{((A,0),(0,0)) }

{((A,B),(0,0))}

soient semblables.

➡️

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

{n=6}

➡️

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B}

diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

.
On suppose

{\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }

.
Soit

{N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}}

{M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}

Montrer que

{M\;\text{et}\;N}

sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

➡️

Diagonalisabilité par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{AB=BA}

Soit

{M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Condition pour que

{M}

soit diagonalisable.

➡️

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

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Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim(E)=3n}

.
On suppose

{v^{3}=0}

{v^{2}\neq 0}

{\mathrm{rg} (v)=2n}

.
Montrer que

{\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}

.
Former une base où

{v}

a pour matrice

{\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

➡️

Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)
Conditions équivalentes pour que des matrices par blocs soient semblables.

➡️

Produit de Kronecker

Pour

{A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})}

{M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, soit

{A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}

.
On étudie les propriétés de l’opération

\otimes

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

➡️

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

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Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Condition pour que

{B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}

soit diagonalisable.

➡️

Réduction d’une matrice par blocs

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}

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Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie, et

{f,g\in{\mathcal L}(E)}

tels que

{\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}

On cherche une base où les matrices de

f

g

sont très simples.

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Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, diagonalisables dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Soit

\varphi_{A,B}

l’endomorphisme de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

défini

\varphi_{A,B}(M)=AM+MB

.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme

\varphi_{A,B}

est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

{B=}

{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}

.
À quelle condition

{B}

est-elle diagonalisable?

➡️