Réduction des endomorphismes

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes ».

Cayley-Hamilton et matrice compagnon

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

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Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

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Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

une matrice nilpotente.
Soit

{p}

son indice de nilpotence. Montrer que

{p\leq 3}

.
On suppose

{p=3}

. Montrer que

{A}

est semblable à

{-A}

si et seulement si

{\det A=\text{tr}\,A=0}

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Exercices sur la réduction (2/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B}

diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

.
On suppose

{\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }

.
Soit

{N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}}

{M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}

Montrer que

{M\;\text{et}\;N}

sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

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Droite ou plan stable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel de dimension

{n\geq 2}

.
Montrer que tout endomorphisme de

{E}

possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

➡️

P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. On suppose qu’il existe

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{P(A)}

soit diagonalisable et

{P^{\prime }(A)}

inversible.
Montrer que la matrice

{A}

est diagonalisable.

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Exercices sur la réduction (1/2)

Six exercices sur le thème « réduction »

➡️

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date

{n}

quand

{n\to+\infty}

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Matrice ortho-trigonalisable

(Oral Centrale 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{\chi_{M}}

scindé dans

{\mathbb{R}[X]}

. Montrer qu’il existe

{R\in O(n)}

telle que

{R^{T} MR}

soit triangulaire supérieure.

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Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

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Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{n}

valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe

{\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}

tels que :

{\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}

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Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

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Polynôme annulateur et trace

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})}

telle que

{(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}

.
Montrer que

{\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}

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Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=I_{3}}

, et

{b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.
Résoudre l’équation

{Ax=x-b}

où

{x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

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Réduction des endomorphismes

Égalité matricielle AB-BA=B

Endomorphisme de suites

Endomorphisme vérifiant u^3=u

Cayley-Hamilton et matrice compagnon

Combinaisons de matrices nilpotentes

Matrice semblable à son opposée

Endomorphismes de ℝ[X]

Exercices sur la réduction (2/2)

Matrices semblables, par blocs

Droite ou plan stable

P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

Diagonalisabilité par blocs

Exercices sur la réduction (1/2)

Un jeton et quatre cases

Matrice ortho-trigonalisable

Produit de Kronecker

Puissances de A à spectre simple

Nilpotence et trace des puissances

Polynôme annulateur et trace

Équations matricielles