Espace de matrices toutes diagonalisables
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.
Conditions de diagonalisabilité
Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Conditions de diagonalisabilité (ou pas)
(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Un critère de diagonalisabilité
Oral Centrale
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Un critère de non diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.
Réduction d’un endomorphisme intégral
(Oral Ensam)
Pour tout {P\in \mathbb{R}_{n}[X]}, on définit : {U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}Montrer que {U} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.
Pour tout {P\in \mathbb{R}_{n}[X]}, on définit : {U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}Montrer que {U} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.
Matrices semblables, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
P(A) diagonalisable, P'(A) inversible
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Diagonalisabilité par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Produit de Kronecker
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?
Probabilité de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} diagonalisables telles que {A^{2}=B^{2}} et {A^{3}=B^{3}}.
Montrer que {A=B}. Et si on ne suppose plus {A,B} diagonalisables?
Soit {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} diagonalisables telles que {A^{2}=B^{2}} et {A^{3}=B^{3}}.
Montrer que {A=B}. Et si on ne suppose plus {A,B} diagonalisables?
Existence d’un vecteur cyclique
(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.
Avec ou sans polynôme caractéristique?
(Oral Centrale 2018)
Diagonalisabilité dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} de {A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}} où {\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}
Diagonalisabilité dans {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} de {A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}} où {\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}
Puissances de polynômes annulateurs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de {A} est lui même un polynôme annulateur de {A}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de {A} est lui même un polynôme annulateur de {A}.
Algèbre de matrices diagonalisables
(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.
Réduction d’une matrice en ᒧ
(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ
Réduction d’une matrice en ᒧ
Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?
Diagonalisation simultanée
Soient {f} et {g} deux endomorphismes diagonalisables de {E}, avec {\dim(E)=n\ge1}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Condition de non diagonalisabilité
Dire pour quel(s) {a} la matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}} n’est pas diagonalisable.
Diagonalisabilité sans calcul
Dire, sans calculs, pourquoi la matrice {A=}{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}} est diagonalisable.
Équation matricielle M2 + MT = In
(Oral Ccp)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Diagonalisation et blocs
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Transposition et diagonalisation
(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Diagonalisation et polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Condition de diagonalisabilité
(Oral Ccp)
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Une condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Réduction de M -> AMB
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Diagonalisation et hyperplans stables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Matrice triangulaire diagonalisable?
(Oral Petites Mines)
La matrice A=\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix} est-elle diagonalisable?
La matrice A=\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix} est-elle diagonalisable?
M^2 diagonalisable => M ?
(Oral Telecom Sud Paris)
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Matrice inversible? diagonalisable?
Diagonalisabilité et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Réduction d’endomorphisme matriciel
(Oral Centrale)
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Endomorphisme et polynômes
(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.
Diagonalisation par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?
Diagonalisation et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.