Conditions de diagonalisabilité

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes », dans la catégorie « Conditions de diagonalisabilité »

Espace de matrices toutes diagonalisables

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.

➡️

Sous-algèbre sans nilpotents

(Oral Centrale) Soit

{\mathcal{A}}

une sous-algèbre commutative de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

), contenant In et sans nilpotent. Alors

{\dim(\mathcal{A})\le n}

et les éléments de

{\mathcal{A}}

sont diagonalisables.

➡️

Réduction de matrices par blocs

(Oral Centrale) Si

{M}

est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs

{N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}

. On étudie la diagonalisabilité de

{N}

, et son polynôme minimal.

➡️

Autour du produit de Kronecker

Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker

{A\otimes B}

de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution

{M}

à l’équation

{AM = q MA}

➡️

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

, avec

{n\ge2}

.
On suppose

{f^{4}= f^{2}}

, et

{(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}

.
L’endomorphisme

{f}

est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant

{(\star)}

par

{\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}

➡️

Un critère de diagonalisabilité

Oral Centrale
Soient

{E}

un espace vectoriel de dimension finie et

{f}

un
endomorphisme de

{E}

. Montrer que

{f}

est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de

{E}

possède un supplémentaire stable par

{f}

➡️

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension finie et

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On montre que

{u}

est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan

{P}

{E}

stable par

{u}

et une base de

{P}

dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par

{u}

s’écrit

{\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}

➡️

Réduction d’un endomorphisme intégral

(Oral Ensam)
Pour tout

{P\in \mathbb{R}_{n}[X]}

, on définit :

{U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}

Montrer que

{U}

est un endomorphisme de

{\mathbb{R}_{n}[X]}

.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.

➡️

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B}

diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

.
On suppose

{\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }

.
Soit

{N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}}

{M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}

Montrer que

{M\;\text{et}\;N}

sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

➡️

P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. On suppose qu’il existe

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{P(A)}

soit diagonalisable et

{P^{\prime }(A)}

inversible.
Montrer que la matrice

{A}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{AB=BA}

Soit

{M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Condition pour que

{M}

soit diagonalisable.

➡️

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

➡️

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}}

avec

{\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}

.
Donner la loi du rang

{R}

{A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}

Probabilité que

{A}

soit diagonalisable?

➡️

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

➡️

A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

➡️

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

➡️

Avec ou sans polynôme caractéristique?

(Oral Centrale 2018)
Diagonalisabilité dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

{A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}}

où

{\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}

➡️

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.

➡️