La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair {n\ge4} peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. On appelle comète de Goldbach le nuage des points {(k,g(k))}, où {k} décrit les entiers pairs dans un certain intervalle {[4,n]} et où {g(k)} désigne le nombre de façons d’écrire {k} comme la somme de deux nombres premiers. Dans cet article, on écrit les fonctions Python utiles pour produire le tracé de cette comète.

Si une matrice carrée inversible A est à coefficients entiers (ou plus généralement rationnels), alors son inverse est à coefficients rationnels.
Avec Python, le calcul de l’inverse de A provoque un passage en mode float.
Dans ce cas, retrouver l’expression exacte (sous forme de rationnels) de A^{-1}.

Le nombre {145} est la somme des factorielles de ses chifres: {145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120}.
Trouver tous les entiers {n} ({n\ge1}) qui ont cette propriété.

Trouver les couples {(n,d)} avec {n \lt d}, s’écrivant {n=xy} et {d=yz} en base 10, et telle que {\dfrac{n}{d}=\dfrac{xy}{yz}=\dfrac{x}{z}} (exemple {\dfrac{19}{95}=\dfrac{1}{5}}). On ne retiendra pas les solutions où {x=y}, qui sont considérées comme évidentes.

L’égalité {39\cdot186=7254} exprime {n=7254} en utilisant une fois et une seule tous les chiffres de {1} à {9}. Trouver la somme des entiers {n} qui ont cette propriété de {7254}, donc qui peuvent s’écrire {n=pq}, où la représentation décimale de {n,p,q} fait apparaître une fois et une seule chaque chiffre de {1} à {9}.

Soit {p} une liste {[p_{0},p_{1},\ldots,p_{n-1}]} de valeurs faciales de pièces, triée dans l’ordre croissant. De combien de façons peut-on payer une somme {s} avec des pièces de la valeur faciale indiquée dans la liste {p}? Indication: avec {s=200} et {p=[1,2,5,10,20,50,100,200]} le résultat est {73682}.

Donner la liste des entiers positifs qui sont égaux à la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres. Indication: on considère que 1 n’est pas solution, et la somme des solutions vaut alors 443839.

Combien l’ensemble des {a^{b}} avec {a,b} entiers, {2\le a,b \lt N} comporte-t-il d’entiers distincts?
Indication: si {N=100}, on trouve {945}.

On dira que les répresentations décimales de {1/2=0.5} et {1/5=0.2} sont finies car elles aboutissent à une répétition de décimales nulles.
En revanche, celle de {1/7} est infinie: elle s’écrit s’écrit {1/7=0.\overline{142857}}, en notant {\overline{142857}} la répétition indéfinie des chifres {142857}: on exprimera cette situation en disant que le développement de {1/7} est ultimement périodique de période {6}.
Problème: on se donne un entier {N > 2}. Pour quelle valeur de {d}, avec {2\le d \lt N}, la période ultime de {1/d} est-elle la plus élevée?

La suite de Fibonacci est définie par {F_{0}=0}, {F_{1}=1} et{F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}} pour {n} de {\mathbb{N}}.
Quel est l’indice du plus petit {F_{n}} comportant {N\ge2} chiffres?

Former la {N}-ième permutation de « 0123456789 » dans l’ordre lexicographique
(réponse: « 2783915460 » si {N=1000000})

Un nombre abondant est un entier {n\ge1} dont la somme des diviseurs (y compris {n} lui-même) vérifie {\sigma(n) > 2n}. On peut montrer que tout entier plus grand que 28123 peut s’écrire comme somme de deux nombres abondants (non nécessairement distincts).
Calculer la somme de tous les entiers positifs qui ne peuvent pas s’écrire comme la somme de deux nombres abondants (non nécessairement distincts).

Using euler022.txt, a 46K text file containing over five-thousand first names, begin by sorting it into alphabetical order.
Then working out the alphabetical value for each name, multiply this value by its alphabetical position in the list to obtain a name score.
For example, when the list is sorted into alphabetical order, COLIN, which is worth 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53, is the 938th name in the list.
So, COLIN would obtain a score of 938\times 53 = 49714.
What is the total of all the name scores in the file?

Soit {d(n)} la somme des diviseurs {k} de {n}, avec {1\le k \lt n}.
Deux entiers positifs {a} et {b} sont dits amiables si {d(a)=b}, {d(b)=a} et {a\ne b}.
Par exemple, les diviseurs stricts de {220} sont {1}, {2}, {4}, {5}, {10}, {11}, {20}, {22}, {44}, {55} et {110}, donc {d(220) = 284}. Les diviseurs stricts de {284} sont {1}, {2}, {4}, {71} et {142}, donc {d(284) = 220}: les deux entiers {220} et {284} sont donc amiables. Calculer la somme de toutes les paires de nombres amiables strictement inférieurs à {N}.

Quelle est la somme des chiffres de la représentation décimale de l’entier {N!} (factorielle {N})?
Indication: pour {N=100}, la réponse est 648.

You are given the following information: 1 Jan 1900 was a Monday: thirty days has September, April, June and November. All the rest have thirty-one, saving February alone, which has twenty-eight, rain or shine, and on leap years, twenty-nine. A leap year occurs on any year evenly divisible by 4, but not on a century unless it is divisible by 400. How many Sundays fell on the first of the month during the twentieth century (1 Jan 1901 to 31 Dec 2000)?

On considère une pyramide triangulaire d’entiers. On part du sommet du triangle, et on progresse jusqu’à la ligne du bas, en progressant à chaque étape, soit vers la gauche, soit vers la droite. Quelle est la somme maximum des valeurs correspondant aux différentes routes possibles?

If the numbers 1 to 5 are written out in words: one, two, three, four, five, then there are 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 letters used in total. If all the numbers from 1 to 1000 (one thousand) inclusive were written out in words, how many letters would be used?
NOTE: Do not count spaces or hyphens. For example, 342 (three hundred and forty-two) contains 23 letters and 115 (one hundred and fifteen) contains 20 letters. The use of « and » when writing out numbers is in compliance with British usage.

Écrire une fonction donnant la somme des chiffres de la représentation décimale de {2^{N}}, avec {N} dans {\mathbb{N}}.

Soit {N} un entier positif. Si on part du coin en haut à gauche d’une grille de {N\times N} points, et si les seuls déplacements autorisés sont d’un point vers la droite ou vers le bas, combien y a-t-il de routes possibles jusqu’au coin en bas à droite?

La suite de Collatz {(u_{n})_{n\ge1}} est définie par la donnée de {u_{0}} dans {\mathbb{N}^{*}} et par les relations: {u_{n}=u_n/2} si {n} est pair, et {u_{n}=3u_n+1} si {n} impair.
Une conjecture célèbre affirme qu’une telle suite finit toujours par retomber sur {1}.
Par exemple, si {u_{0}=13}, on obtient {13\to40\to20\to10\to5 16\to8\to4\to2\to1}.
Quel nombre initial {u_{0}}, avec {u_{0} \le N} (où {N\ge1} est donné) donne la plus longue séquence avant de revenir à {1}?

Un fichier texte contient 100 lignes de nombres de cinquante chiffres.
Calculer les dix premiers chiffres de la somme de ces cent nombres.

On note {T_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}} (les {T_{n}} sont appelés nombres triangulaires). Quel est le plus petit nombre triangulaire ayant plus de {N} diviseurs, avec {N\ge1} donné?

Dans une grille de {n\times n} entiers, quel est le produit maximum de quatre nombres adjacents (dans une direction quelconque: verticale, diagonale, ou horizontale)?

Soit {N\ge3} un entier.
Trouver la somme des entiers premiers strictement inférieurs à {N}.

Soit {s} un entier strictement positif.
Trouver les triplets {(a,b,c)} tels que: {0 \lt a \lt b \lt c}, {a^{2}+b^{2}=c^{2}} et {a+b+c=s}.
Pour chacun d’eux, préciser la valeur de {abc}.

Le fichier nombre.txt contient un entier de 1000 chiffres (écrit en vingt lignes de 50 chiffres). Trouver le plus grand produit de cinq chiffres consécutifs de cet entier.

Soit {n} dans {\mathbb{N}^{*}}.
Écrire une fonction renvoyant le {n}-ième nombre premier.

Soit n dans \mathbb{N}^*. Écrire une fonction calculant {\displaystyle\Bigl(\sum_{k=1}^{n}k\Bigr)^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}}.

Soit N un entier strictement positif. Quel est le plus petit entier strictement positif et divisible par tous les entiers de 1 à N?

Un entier naturel (écrit en base 10) est un palindrome s’il se lit à l’identique de gauche à droite et de droite à gauche. L’entier 9009=91\times 99 est le plus grand palindrome à s’écrire comme le produit de deux entiers à deux chiffres. On demande de trouver le plus grand palindrome égal au produit de deux entiers à trois chiffres.

Soit N dans \mathbb{N}, avec N\ge2.
Écrire une fonction donnant le plus grand facteur premier de N.

Chaque terme de la suite de Fibonacci est obtenu en ajoutant les deux termes précédents.
Les premiers termes sont:
F_{0}=0,\;F_{1}=1,\;F_{2}=1,\;F_{3}=2,\;F_{4}=3,\;F_{5}=5,\;F_{6}=8,\;F_{7}=13,\cdots
On demande d’écrire une fonction qui renvoie la somme des F_{n} qui sont pairs et strictement inférieurs à un entier naturel N donné.