On dira que les répresentations décimales de {1/2=0.5} et {1/5=0.2} sont finies car elles aboutissent à une répétition de décimales nulles. En revanche, celle de {1/6} est infinie: elle s’écrit {1/6=0.1666...=0.1\overline{6}}, où {\overline{6}} désigne la répétition indéfinie du chiffre {6}. La représentation décimale de {1/7} s’écrit {1/7=0.\overline{142857}}, en notant {\overline{142857}} la répétition indéfinie des chifres {142857}. On exprimera cette situation en disant que le développement de {1/7} est ultimement périodique de période {6}. Problème: on se donne un entier {N > 2}. Pour quelle valeur de {d}, avec {2\le d \lt N}, la période ultime de {1/d} est-elle la plus élevée? Indication: pour {N=1000}, la réponse est {d=983}. |