Mathprepa Exercices corrigés
Un arc paramétré
Déplacements aléatoires sur un carré
(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
Répartition de a*n boules dans n urnes
(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
Probabilités et urne bicolore
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Inégalité et espérance mathématique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Une forme linéaire sur IR[X]
(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Moyenne de permutations
(Oral Centrale)
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.
Réduction simultanée
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.
Une série numérique
Comparaison de rayons de convergence
(Oral Centrale)
Soit {(a_{n})} une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}.
Soit {(a_{n})} une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}.
Réduction d’endomorphisme matriciel
(Oral Centrale)
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme \varphi de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Une symétrie orthogonale
(Oral Centrale)
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Somme d’une série de fonctions
(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Une somme de série entière
Matrices à diagonale propre
(Oral Centrale)
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
Fonction d’une loi de Poisson
(Oral Centrale)
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Minimum dans un tirage aléatoire
(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.