Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

Racines d’un polynôme

(oral Mines-Ponts)
Trouver les racines complexes de

{P(X)=1+2X+\ldots +2X^{n-1}+X^{n}}

➡️

La somme des k^2 binom(n,k)

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}}

(cinq méthodes possibles!)

➡️

A⁴=A² et diagonalisabilité

(Oral XCachan Psi)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. On suppose que

{-1,1}

sont valeurs propres de

{A}

, et que

{A^{4}=A^{2}}

.
Si

n=3

, montrer que

{A}

est diagonalisable. Et si

{n\ge4}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Vandermonde, le retour

(Oral École Navale)
Calculer

{\det(M)}

, où

{m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})}

{2\le j\le n}

, et

{m_{i1}=1}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Ccem)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

telles que

{A^{2}=B=}

{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}

➡️

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite

{(u_{n})}

est dite C-convergente si

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}

.
Donner un exemple de suite

{C}

-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers

{0}

est

{C}

-convergente.
Soit

{\alpha\in\,]0, 1[}

. Montrer que la suite

{n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}}

est

{C}

-convergente.

➡️

Série entière et série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Rayon de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}

, où

{a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}

➡️

Un développement en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Développer

{\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}

en série entière.

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Ccp)
Soient

f,u,v

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^k=a^ku+b^kv}

avec

a,b

non nuls, et

0\le k\le 2

.
Montrer que

{f}

est diagonalisable.

➡️

Comparaison de rayons de CV

(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

{\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}

➡️

Étude de rayons de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de convergence de

{\sum a_{n}x^{n}}

.
Trouver ceux de

{\sum a_{n}x^{2n}}

{\sum a_{n}^{2}x^{n}}

{\sum a_{n}x^{n^{2}}}

➡️

Une série entière millésimée

(Oral Mines Ponts)
Rayon

{R}

et calcul de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}

➡️

Une série de fonctions alternée

(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}

➡️

CV uniforme d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

.
Mêmes questions avec

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

➡️

Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

➡️

Fonctions Zeta et Zeta alternée

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}}

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}

.
Étudier les domaines de

{f}

{g}

, les limites de

{f}

aux bornes, la continuité et la dérivabilité de

{g}

.
Donner une relation entre

{f}

{g}

, puis un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Une suite récurrente de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Sur

{\mathbb{R}^{+}}

, on pose

{f_{0}=0}

{f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}

.
Étudier la convergence de la suite

(f_n)_{n\ge0}

➡️