Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Limites d’intégrales généralisées

(Oral Ccp)
Existence de

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}

.

M → AM-MA avec A symétrique réelle

(Oral Tpe)
Soient

{A \in S_{n}(\mathbb{R})}

et

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

défini par :

{\varphi(M) = AM -MA}

. Former une base orthonormale de diagonalisation de

{\varphi}

. Que vaut

{\text{rg}(\varphi)}

?

Un endomorphisme symétrique

(Oral Tpe)
Soit

u

un vecteur unitaire de

{E}

euclidien, et soit

{a \in\mathbb{R}^{*}}

.
On étudie l’endomorphisme

{f_{a}}

de

E

défini par

{f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}

.

Inégalité entre trace et rang

(Oral Ccem)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que

{\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}

.

Matrices telles que : A A^T A = I_n

(Oral Ensea)
Chercher les matrices

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

telles que

{A\,{A}^{\top}A = I_{n}}

. Et dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

?

Équa. différentielle et série entière

(Oral Ensea)
Solutions développables en série entière de

{(E): 4xy'' - 2y' + 9x^{2}y = 0}

.

Équa. diff. et développement limité

(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle

{(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}

.
Montrer que

(E)

admet une unique solution

{f}

sur

{]-\infty,1[}

vérifiant

{f(0) = 0}

.
Donner un développement de

{f}

à l’ordre

{4}

en

{0}

.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par

{r + 1}

tirs de laser, avec

{r\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{X}

la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis

{\text{E}(X)}

.

Une loi de probabilité

(Oral Tpe)
Étude de la loi de

X

définie par :

{\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}

.

Une série de fonctions

(Oral Ccp)
Définition et continuité de

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}

.

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

,

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

et

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

.

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

et

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

.

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

Trace et diagonalisation

(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de

{\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}

.

Points fixes uniques

(oral Mines-Ponts)
Soient

{f}

et

{g}

deux fonctions continues sur

{\mathbb{R}}

, avec

{f\circ g}

décroissante.
Montrer que

{f\circ g}

et

{g\circ f}

admettent un unique point fixe.

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.

Deux encadrements

(oral Mines-Ponts)
Montrer que

{\forall\, x}

,

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

,

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

.

A nilpotente réelle commutant avec A^T

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

nilpotente et telle que

{A^{\top}A=A\,A^{\top}}

.

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit

{X_1,X_2,Y}

trois v.a.r. indépendantes.
On suppose

{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}

, et

{\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}

On pose

{M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}

.
Probabilité que

{M}

soit diagonalisable dans

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

?

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Caractère

\mathcal{C}^1

ou

\mathcal{C}^2

de

S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}

.