Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{i,i}=4}

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

.
Diagonaliser

A

dans le groupe orthogonal.

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Ccp)
On se place dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, muni de

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}

.
Soit

{\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}

.
Montrer que

{\varphi}

est symétrique.

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Équation différentielle de Legendre

(Oral X-Cachan Psi)
On note

{U_{n}=(X^{2}-1)^{n}}

{P_{n}=U_n^{(n)}}

.
1. Montrer que

{P_{n}}

vérifie

{(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}

.
2. Donner les solutions

{\mathcal{C}^{2}}

{(E)}

sur

{[-1,1]}

.
3. Montrer que les

P_n

sont orthogonaux pour

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

➡️

Identifier une transformation de ℝ³

(Oral Ccp)
Transformation associée à

{M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}

➡️

Minimum de (f(x)|x)

(Oral Ccp)
Soit

f

un endomorphisme symétrique de

E

euclidien.
On caractérise les vecteurs

x

unitaires qui minimisent

\bigl(f(x)\mid x\bigr)

➡️

Noyau et image de f et f^2

(Oral Ccp)
Avec

f\in\mathcal{L}(E)

, on étudie les égalités

{\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)}

{\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

➡️

Équation différentielle y"+f(x)y = 0

(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation

{(E): y'' + f(x)y = 0}

, où

{f}

est continue intégrable sur

{\mathbb{R}}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

➡️

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

On munit

{\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Étudier l’endomorphisme

{P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}

➡️

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

➡️

Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

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Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier

{S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}

➡️

Quatre spots lumineux

(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.

➡️