Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Deux sommes de séries numériques

(Oral Ccp)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}

, et

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)}

pour

{-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

➡️

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

➡️

Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et caractère

{{\mathcal C}^1}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}

➡️

Vidages d’urnes bicolores

(Oral Centrale)
Une urne contient

{b}

boules blanches et

{n-b}

rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note

{C}

le nombre de changements de couleur. Calculer

{E(C)}

{V(C)}

➡️

Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

➡️

Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Pour

{|a|\lt1}

x\gt0

, étudier

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

, notamment en

0^+

+\infty

➡️

Limite d’une intégrale à paramètre

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

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Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

➡️

Une somme de série entière

(Oral Ccp)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}

, où

{a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}

➡️

Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Un système linéaire

(oral Ccp)
Résoudre

{\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}

où

{\alpha, \beta,\gamma}

sont les racines de

{X^{3}+X+1}

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Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

➡️

Égalité matricielle et trace

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

{\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}

➡️

Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

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Racines du polynôme dérivé

(oral Ccp)
Montrer que si

P

est scindé dans

\mathbb{R}[X]

, alors

P'

l’est aussi.

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Orthocentre à l’origine

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

z\in\mathbb{C}

tels que l’orthocentre de

A(z)

B(z^2)

C(z^3)

soit en

0

➡️

Déterminant et racines d’un polynôme

(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre

n

dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme

{P_{n}=X^{n}-X+1}

➡️