Calcul asymptotique
Recherche d’asymptote
On étudie l’existence d’une asymptote à la courbe représentative d’une fonction (dépendant d’un paramètre) au voisinage de l’infini, et le placement par rapport à cette asymptote.
Développements asymptotiques
Cinq exercices de calculs de développements asymptotiques
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Développement en produit infini
(Oral Centrale) On définit une suite de fonctions par récurrence; on établit qu’elle converge vers une certaine fonction {f}, et avec une vitesse cubique de convergence.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Développement d’une racine d’un polynôme
(Oral Centrale) On montre que la solution positive de {x^n=x+1} a un développement à tout ordre en {1/n}, et on calcule explicitement ce développement à la précision {1/n^3}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Suite définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}Montrer que la suite {\left(u_{n}\right)} est convergente.
Donner un équivalent de {u_{n}} quand {n\to+\infty}.
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}Montrer que la suite {\left(u_{n}\right)} est convergente.
Donner un équivalent de {u_{n}} quand {n\to+\infty}.
Analyse d’une suite implicite
(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel {c\in\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {(E) :x\sin x = c\cos x}, d’inconnue {x\in\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que (E) a une unique solution {x_n} dans chaque {I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[} ({n\in\mathbb{N}}).
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^3}}.
On se donne un réel {c\in\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {(E) :x\sin x = c\cos x}, d’inconnue {x\in\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que (E) a une unique solution {x_n} dans chaque {I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[} ({n\in\mathbb{N}}).
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^3}}.
Développement d’une suite implicite
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que : {\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}.
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^2}}.
Montrer que : {\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}.
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^2}}.
Deux suites récurrentes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.
Récurrences croisées
(Oral Mines-Ponts)
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}
Calcul de la limite d’une somme de….
(Oral Tpe)
On pose {u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}.
Déterminer la limite de {u_n} quand {n\to+\infty }
On pose {u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}.
Déterminer la limite de {u_n} quand {n\to+\infty }