Formule de Bayes
Deux exercices sur le thème « formule de Bayes ».
Mpsi Pcsi
Boules et urnes
On considère trois urnes : {U_{1}} (deux boules blanches et trois rouges), {U_{2}} (deux boules vertes et quatre blanches), {U_{3}} (cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?
Indépendance d’événements
On s’intéresse à l’indépendance d’événements liés au lancement de plusieurs dés.
Mme Michu cherche son parapluie
Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…
Quatre pions sur trois cases
On dispose au hasard quatre pions sur trois cases (assez grandes pour contenir tous les pions).
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Somme de probabilités
Soit {A,B,C} trois événements. Simplifier :{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}Ensuite on généralise ce résultat.
Séries à termes positifs (2)
Huit exercices sur le thème « séries à termes positifs » (2/2)
Séries à termes positifs
Exercices sur le thème « séries à termes positifs »
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Tangente hyperbolique complexe
(Oral Centrale 2018)
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Un développement asymptotique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {x_n} la racine de {x^{3n}-3nx+1} dans {[1,+\infty[}.
Trouver {a,b} tels que {x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}.
Soit {x_n} la racine de {x^{3n}-3nx+1} dans {[1,+\infty[}.
Trouver {a,b} tels que {x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}.
Puissances de matrices stochastiques
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Famille obtusangle
(Oral Centrale)
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Trace et formes linéaires
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Caractériser les formes linéaires {\varphi} sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} telles que {\varphi (MN)=\varphi (NM)}
Suites de polynômes d’Appell
(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}