Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Un développement de arctan(x)

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel

{x}

{\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}

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Rayon et somme d’une série entière

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Pour

n\in\mathbb{N}

x\ge0

, on pose

{f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}

.
Continuité de

{S=\displaystyle\sum f_n}

, limites en

1

et en

+\infty

➡️

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B_n}

le nombre de partitions de

{[[1,n]]}

.
Montrer

{B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}

Montrer :

{T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}}

(formule de Dobinski).

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Rayon(s) de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de

{\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}

, et

{S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}

.
Montrer :

{R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}

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Une série de fonctions, alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}

.
Calculer

{\displaystyle\lim_{+\infty}f}

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Valeurs propres extrémales

(Oral Mines-Ponts)
Inégalités entre valeurs propres extrémales de

u,v,u+v

, avec

u,v

symétriques.

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Trace et égalité matricielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

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Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

, et

{a_{i,i}=i}

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Puissances d’une matrice 3×3

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}

. Calculer

{A^n}

pour

{n\in\mathbb{N}}

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Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

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Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

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Égalité matricielle et valeurs propres

(Oral Tpe)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

vérifiant :

{A^2+A+4I_n=0}

.
Calculer le déterminant et la trace de

{A}

en fonction de

n

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Dérivabilité dun produit infini

(Oral Centrale)
Montrer que

{G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}

est de classe

{{\mathcal C}^\infty}

sur

{\mathbb{R}^+}

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Suite des itérées d’une fonction

(Oral Centrale)
Convergence sur

[0,1]

de la suite des itérées de

{\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}

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Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

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Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Ensam)
Soit

{h}

une fonction continue sur

[0,\pi/2]

.
Étudier la convergence de la suite de fonctions

{f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}

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Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

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Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

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Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

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