Concours Inp
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des écoles d’ingénieurs du « Concours Commun Polytechniques » (ou encore INP)

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

➡️

Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier

{S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}

➡️

Limites d’intégrales généralisées

(Oral Ccp)
Existence de

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp)
Définition et continuité de

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}

➡️

Trace et diagonalisation

(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de

{\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Caractère

\mathcal{C}^1

\mathcal{C}^2

S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Ccp)
Soient

f,u,v

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^k=a^ku+b^kv}

avec

a,b

non nuls, et

0\le k\le 2

.
Montrer que

{f}

est diagonalisable.

➡️

CV uniforme d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

.
Mêmes questions avec

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

➡️

Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de

{S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Si

{\Omega\in O(n)}

{S\in S_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}

, alors

{\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}

➡️

Trace et endomorphismes symétriques

(Oral CCInp)
Si

f,g

sont symétriques positifs, alors

{0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}

➡️

Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

➡️