Convergence de suites de fonctions

Exercices corrigés

Convergence d’une suite d’intégrales

(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite

{(g_n)}

, et pour

{f}

de classe

{\mathcal{C}^1}

sur

{[0,1]}

, on calcule

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}

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Exemples de suites de fonctions

Six exercices sur le thème “suites de fonctions”

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Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose :

{\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}

.
Montrer que :

{\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}

.
On note

{x=f_{n}(y)}

. Tracer des fonctions

{f_n}

.
Montrer que la suite

{(f_n)_{n\ge1}}

converge simplement sur

{\mathbb{R}^+}

vers

{f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}

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Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

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Convergence cubique d’un produit infini

(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini

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Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

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Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Centrale Mp)
Convergence simple de la suite des fonctions

{x\mapsto f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}

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Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

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Une suite récurrente de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Sur

{\mathbb{R}^{+}}

, on pose

{f_{0}=0}

{f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}

.
Étudier la convergence de la suite

(f_n)_{n\ge0}

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Suite convergente de polynômes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(P_{n})_{n\ge 0}}

une suite de

{\mathbb{R}_{m}[X]}

, avec

{m \ge 2}

, simplement convergente vers

{f}

. Montrer que

{f}

est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.

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Convergence uniforme et extrémas

(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite

(f_n)

de fonctions continues converge uniformément sur

[a,b]

.
Étudier les suites

{\max\limits_{[a,b]}f_n}

{\min\limits_{[a,b]}f_n}

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Une suite de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur

{\mathbb{R}^+}

de la suite des

{f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}

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Suite des itérées d’une fonction

(Oral Centrale)
Convergence sur

[0,1]

de la suite des itérées de

{\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}

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Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Ensam)
Soit

{h}

une fonction continue sur

[0,\pi/2]

.
Étudier la convergence de la suite de fonctions

{f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}

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Une suite de fonctions

(Oral Ccp)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

{f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}

.
Convergence simple et uniforme de la suite

(f_n)_{n\geq 1\quad}

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Fonctions équi-lipschitziennes

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{(f_n)_{n\geq 0}}

une suite de fonctions

{M}

-lipschitziennes sur

{[0,1]}

, simplement convergente vers

{f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}

.
Montrer que la convergence est uniforme.

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Convergence uniforme

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{(f_n)_{n\geq 0}}

une suite de fonctions croissantes et continues sur

{[0,1]}

, simplement convergente vers

{f}

continue. Montrer que la convergence est uniforme.

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