Séries numériques

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Séries numériques ».

Série des restes d’une série

(Oral Ensam)
On pose, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}

.
Justifier l’existence de

{u_n}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

converge et calculer sa somme.

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}}

où

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

ont même nature.

La série des j^n/n

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

où

{u_n=\dfrac{j^n}{n}}

?

Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite positive décroissante.
On suppose que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

converge.
On pose

{v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

converge.
Exprimer sa somme en fonction de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

.

Série des inverses des entiers premiers

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

, et

{\alpha\gt0}

.
On suppose que

{n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

diverge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}}

converge

{\Leftrightarrow\alpha >1}

.

On suppose ${\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}$ . Soit ${R_{n}=S-S_{n}}$ .
Montrer que ${\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}}$ converge ${\Leftrightarrow \alpha \lt 1}$ .

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

.

Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite strictement décroissante de limite

{0}

.
Pour

{x>0}

, soit

{N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}

.
Montrer que

{N}

est intégrable sur

{]0,+\infty \lbrack }

si
et seulement si la série

{\displaystyle\sum a_{n}}

converge.
Montrer qu’alors

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

Divergences en chaîne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}

. Montrer que

{\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x}

diverge.
En déduire que

{n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)}

divergent.

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}

.
Montrer :

{\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}}

converge et

{\displaystyle\sum a_{n}}

diverge.
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

.

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

et

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

de

{\displaystyle\sum a_n x^n}

.

Série des f(n) avec hypothèse sur f’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}

, intégrable sur

{[1,+\infty]}

.
Comparer

{\displaystyle\sum f(n)}

et

{n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t}

converge.
Application : nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}}

quand

{\alpha >\dfrac{1}{2}}

.

Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f

(Oral Centrale)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}

, avec

{\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}

.
On demande d’étudier la série

{\displaystyle\sum f(n)}

.

La série des sin(2π e n!)

(Oral Mines-Ponts)
Donner un équivalent de

{u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}

.
En déduire que la série

{\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)}

diverge.

Quatre épisodes pour une mini-série

Nature et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}}

.
Pour la somme, on demande plusieurs méthodes.

Une série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, on pose

{u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}

Nature et somme de la série de terme général

{u_n}

?
Nature de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|}

?

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

,

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

en

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

.

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que :

{\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}

Déterminer la nature des séries

{\displaystyle\sum a_{n}}

et

{\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}

.
Déterminer la limite de

{n(1-na_{n})}

en

{+\infty}

.
Développer

{a_n}

à la précision

{o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}

.

Équivalent d’un produit partiel

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante

{C\neq 0}

telle que :

{\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}