Probabilités, variables aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Probabilités, variables aléatoires ».

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.

Calcul d’une espérance

Une urne contient {b} boules blanches et {r} rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.

Une urne bicolore

Une urne contient {a} boules blanches et {b} boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des {a} boules blanches. Déterminer la loi de {X}. Calculer {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)}.