Probabilités, variables aléatoires

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Probabilités, variables aléatoires ».

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(A_{k})_{1\leq k\leq n}}

des événements mutuellement indépendants. Soit

{B}

l’événement :
« aucun des événements

{A_k}

n’est réalisé ».
Montrer que

{\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}

.

Urne de moins en moins bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).

Urne de plus en plus bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).

Tirage de boules impaires

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2n}

boules numérotées de

{1}

à

{2n}

.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour

{k\in [[1,p]]}

, l’urne numéro

{k}

contient

{k}

boules noires et

{p-k}

boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire

{2n}

boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu

{n}

boules noires? Quelle est sa limite quand

p\to+\infty

?

Vidages d’urnes bicolores

(Oral Centrale)
Une urne contient

{b}

boules blanches et

{n-b}

rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note

{C}

le nombre de changements de couleur. Calculer

{E(C)}

et

{V(C)}

.

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

,

{p_{n+2}}

,

{p_{n+1}}

et

{p_{n}}

.

Loi définie par sa fonction génératrice

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la v.a.r.

X

définie par

{G_{X}(t)=\dfrac{1}{(2-t)^{\alpha}}}

.

Égalités dans un jeu à deux

(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après

2n

parties.

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

,

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

.

Quatre spots lumineux

(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par

{r + 1}

tirs de laser, avec

{r\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{X}

la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis

{\text{E}(X)}

.

Une loi de probabilité

(Oral Tpe)
Étude de la loi de

X

définie par :

{\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}

.

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit

{X_1,X_2,Y}

trois v.a.r. indépendantes.
On suppose

{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}

, et

{\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}

On pose

{M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}

.
Probabilité que

{M}

soit diagonalisable dans

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

?

Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

.

Tirages dans une urne

(Oral Ccp)
Dans une urne de

{n\!-\!1}

boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang

T

d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.

Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

.