Mathprepa Exercices corrigés
Une somme de série entière
(Oral Mines-Nancy)
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Interversion série-intégrale
(Oral Ccp et Centrale)
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Une somme de série de fonctions
Matrices nilpotentes de même rang
(Oral Centrale)
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Convergence uniforme et extrémas
(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Une suite de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
M^2 diagonalisable => M ?
(Oral Telecom Sud Paris)
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Un polynôme caractéristique
(Oral Tpe)
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Reste d’une série de Riemann
(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Des livres sur une étagère
On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
Endomorphisme et dérivation
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Spectre d’un endomorphisme intégral
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Image et noyaux imposés
(Oral Ccp)
Soient {F,G} deux sous-espaces d’un espace vectoriel {E} de dimension finie.
Condition pour que : {\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}
Soient {F,G} deux sous-espaces d’un espace vectoriel {E} de dimension finie.
Condition pour que : {\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}
Recherche de sous-espaces stables
(Oral Ccp)
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\R^3)} canoniquement relié à {\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}
Décrire les sous-espaces stables par {u}
Réduction endomorphisme matriciel
(Oral Ccp)
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Soit {\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}.
L’endomorphisme {\varphi} est-il diagonalisable ?
Le paradoxe du duc de Toscane
Nombre de façons d’écrire {9} et {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
Le paradoxe des anniversaires
Quelle est la probabilité {p_n} pour que dans une classe de {n} élèves, les anniversaires d’au moins deux élèves tombent le même jour? À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\ge0.5}?