Intégration sur un intervalle quelconque

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

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Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

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Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

➡️

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit

{f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})}

avec

{f(0)=f^{\prime }(0)=0}

.
Montrer :

{\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}

Montrer :

{\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

.
Montrer :

{\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

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Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}

.
On rappelle que :

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

Trouver le domaine de définition de

{f}

.
Montrer que la restriction de

{f}

{\mathbb{R}^+}

est

{\mathcal{C}^{1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx}

existe et la calculer.

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Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})}

nulle pour

{|x|\gt A}

.
Montrer que

{F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt}

est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que :

{\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}}

{\forall\, x>0}

{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

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Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}

Déterminer le dommaine ${D}$ de la fonction ${I}$ .
Montrer que ${I}$ est ${\mathcal C^1}$ sur ${D}$ .
Calculer pour ${I(x+1)-I(x)}$ pour ${x\in D}$ .
Déterminer la limite de ${I}$ en ${+\infty}$ .
Donner un équivalent de ${I}$ en ${-1}$ et en ${+\infty}$

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Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

une fonction continue et intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Soient

{a,b\in \mathbb{R}}

tels que

{0\lt a\lt b}

.
Existence et valeur de

{J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}

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Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de

{\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}

.
Équivalent de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t}

{+\infty}

.
En déduire un équivalent de

{\ln \Gamma(x)}

{+\infty }

➡️

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

. Pour

{x\in \mathbb{R}^{+}}

, on pose :

{F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}

On suppose que

{f}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{F}

?
On suppose que

{F}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{f}

?
On suppose que

{g}

a une limite finie en

{+\infty }

.
Déterminer la limite de

{f}

{+\infty }

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Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite strictement décroissante de limite

{0}

.
Pour

{x>0}

, soit

{N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}

.
Montrer que

{N}

est intégrable sur

{]0,+\infty \lbrack }

si
et seulement si la série

{\displaystyle\sum a_{n}}

converge.
Montrer qu’alors

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

➡️

Divergences en chaîne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}

. Montrer que

{\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x}

diverge.
En déduire que

{n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x}

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)}

divergent.

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Intégrabilité de exp(i t^a)

(Oral XEns)
Discuter la convergence de l’intégrale :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{it^{\alpha}}\,\text{d}t}

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Existence d’une intégrale généralisée

(Oral CCInp)
L’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(\text{e}^{t})\,\text{d}t}

a-t-elle un sens?

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Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

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Convergence d’une suite d’intégrales

(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite

{(g_n)}

, et pour

{f}

de classe

{\mathcal{C}^1}

sur

{[0,1]}

, on calcule

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}

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Série des f(n) avec hypothèse sur f’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}

, intégrable sur

{[1,+\infty]}

.
Comparer

{\displaystyle\sum f(n)}

{n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t}

converge.
Application : nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}}

quand

{\alpha >\dfrac{1}{2}}

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