Séries entières
Égalités dans un jeu à deux
(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Équa. différentielle et série entière
Une loi de probabilité
(Oral Tpe)
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Série entière et série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Un développement en série entière
Comparaison de rayons de CV
(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Étude de rayons de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Une série entière millésimée
(Oral Mines Ponts)
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Somme d’une série numérique
Rayon de convergence de ∑ tr(Ak)zk
(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Une somme de série entière
(Oral Mines-Nancy)
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Interversion série-intégrale
(Oral Ccp et Centrale)
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Série entière et coefficients binomiaux
(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
Un développement en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Un développement de arctan(x)
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Rayon et somme d’une série entière
(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).