Réduction
Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

a_{i,j}=1

j\equiv i\!+\!1\ [n]\!

, et

a_{i,j}=0

sinon.
Inversibilité de

{B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}

, et calcul de

{\det(B_p)}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Matrice triangulaire diagonalisable?

(Oral Petites Mines)
La matrice

A=

\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}

est-elle diagonalisable?

➡️

Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

➡️

Un système différentiel linéaire

(Oral Mines-Nancy)
Résoudre

{\begin{cases}x'=-3x+5y-5z\\y'=-4x+6y-5z\\z'=-4x+4y-3z\end{cases}}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

M^2 diagonalisable => M ?

(Oral Telecom Sud Paris)
Soit

{M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}

, avec

{M^2}

diagonalisable. Montrer que

{M}

est diagonalisable.

➡️

Un polynôme caractéristique

(Oral Tpe)
Déterminer

\chi_{A}

pour

{A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}

, sachant que

{\text{tr}(A)=2}

{A^3+A^2=2A}

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

➡️