Le paradoxe des anniversaires
Quelle est la probabilité {p_n} pour que dans une classe de {n} élèves, les anniversaires d’au moins deux élèves tombent le même jour? À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\ge0.5}?
Probabilités
Mme Michu et les probabilités
Quatre exercices sur le thème « Mme Michu et les probabilités »
Un dé, un python, un trinôme
On jette un dé trois fois (résultats {a,b,c}). Donner la probabilité pour que {aX^2+bC+c} ait deux racines réelles distinctes / une racine réelle double / pas de racine réelle.
Anagrammes d’abracadabra
Combien « abracadabra » a-t-il d’anagrammes? Quel est le moins probable?
Somme de lois de Poisson
(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.
Tirages dans une urne
(Oral Ccp)
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Élimination de jetons sur un cercle
(Oral Ensam)
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
Jetons bicolores
(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty
Déplacements aléatoires sur un carré
(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré ABCD, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date n quand n\to+\infty.
Répartition de a*n boules dans n urnes
(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
On répartit au hasard {an} boules dans {n} urnes. Soit {S_{n}} la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer {\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})} et leur limite quand {n\to+\infty}
Probabilités et urne bicolore
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Inégalité et espérance mathématique
(Oral Mines-Ponts)
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Soit {a\in[0, 1]} et {X} une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.
Matrices à diagonale propre
(Oral Centrale)
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
Fonction d’une loi de Poisson
(Oral Centrale)
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Minimum dans un tirage aléatoire
(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
Transmission d’information
(Oral X-Cachan Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après n conversions.
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après n conversions.
Le collectionneur, épisode 3
Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente X de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de X.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente X de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de X.
Le collectionneur, épisode 2
Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.
Le collectionneur, épisode 1
Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.