Probabilités
Exercices corrigés sur le thème « probabilités » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois

X_n

, quand on part de la loi initiale de

X_0

(qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient

{N}

boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note

{X_{n}}

le nombre de boules bleues après la

{n}

-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule

{\text{E}(X_{n})}

et sa limite quand

{n\rightarrow+\infty}

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Lancer de dés pipés

(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de

1

6

.
On note

{p_{k}}

la probabilité d’obtenir

{k}

.
Soit

{N_{n,k}}

le nombre de

{k}

{n}

lancers.
Que dire de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}

?
Si

{np_{k}\in\mathbb{N}}

, probabilité que

{N_{n,k}=np_{k}}

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Calcul d’une espérance

Une urne contient

{b}

boules blanches et

{r}

rouges.
On effectue des tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro

X

du tirage de la dernière boule blanche.

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Une urne bicolore

Une urne contient

{a}

boules blanches et

{b}

boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit

{X}

la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des

{a}

boules blanches. Déterminer la loi de

{X}

. Calculer

{\text{E}(X)}

{\text{V}(X)}

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