Probabilités
Majoration d’une probabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.
Soit {(A_{k})_{1\leq k\leq n}} des événements mutuellement indépendants. Soit {B} l’événement :
« aucun des événements {A_k} n’est réalisé ».
Montrer que {\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}.
Urne de moins en moins bicolore
(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).
Urne de plus en plus bicolore
(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).
Tirage de boules impaires
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.
Quand le nombre d’urnes est infini
(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Vidages d’urnes bicolores
(Oral Centrale)
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Étude d’un temps d’attente
(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.
Deux premiers succès consécutifs
(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.
Loi définie par sa fonction génératrice
Égalités dans un jeu à deux
(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Encore les quatre spots lumineux
(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.
Déplacements dans Z2
(Oral Centrale)
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.
Quatre spots lumineux
(Oral XCachan Psi)
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.
On étudie l’évolution aléatoire d’un tableau de quatre spots lumineux.
Tir au laser sur une bactérie
(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.
Une loi de probabilité
(Oral Tpe)
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
La somme des k^2 binom(n,k)
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Des livres sur une étagère
On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
Le paradoxe du duc de Toscane
Nombre de façons d’écrire {9} et {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.