Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

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Trace et endomorphismes symétriques

(Oral CCInp)
Si

f,g

sont symétriques positifs, alors

{0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}

➡️

Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

a_{i,j}=1

j\equiv i\!+\!1\ [n]\!

, et

a_{i,j}=0

sinon.
Inversibilité de

{B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}

, et calcul de

{\det(B_p)}

➡️

Équation fonctionnelle et série

(Oral Centrale)
Trouver les

{f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}

➡️

Nature d’une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum a_{n}}

, où

{a_{0}>0}

{a_{n+1}=\ln(1\!+\!a_{n})}

➡️

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

Convergence d’une série alternée

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}}}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Intégrale généralisée et série

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

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Matrice triangulaire diagonalisable?

(Oral Petites Mines)
La matrice

A=

\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}

est-elle diagonalisable?

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Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Suite convergente de polynômes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(P_{n})_{n\ge 0}}

une suite de

{\mathbb{R}_{m}[X]}

, avec

{m \ge 2}

, simplement convergente vers

{f}

. Montrer que

{f}

est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

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Un système différentiel linéaire

(Oral Mines-Nancy)
Résoudre

{\begin{cases}x'=-3x+5y-5z\\y'=-4x+6y-5z\\z'=-4x+4y-3z\end{cases}}

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Une somme de série entière

(Oral Mines-Nancy)
Rayon et somme de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}

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Interversion série-intégrale

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️