Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».
Mp/Pc/Psi
Développements en série entière
Six exercices sur le thème « développements en série entière ».
Séries entières, rayons et sommes
Cinq exercices sur le thème « convergence et somme de séries entières »
Rayons et sommes de séries entières
Cinq exercices sur le thème « Rayon et somme de séries entières ».
D’autres rayons de convergence
Quatre exercices sur le thème “Rayon de convergence de séries entières”.
Régularité d’une série de fonctions
On étudie la régularité de {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}
Séries de fonctions trigonométriques
On étudie la série de fonctions {\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}, où : {\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}
Série de fonctions, convergence, somme
Série de fonctions {\sum f_n} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}
Séries numériques alternées
Six exercices sur le thème « séries alternées ».
Calculs de sommes de séries
Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Intérieur et adhérence dans un evn
Quatre exercices sur le thème « ouverts, fermés, intérieur, adhérence ».
Distances dans un evn
Deux exercices sur le thème « distances dans un espace vectoriel normé ».
Normes matricielles
Cinq exercices sur le thème « normes matricielles ».
Boules ouvertes, boules fermées
Cinq exercices sur le thème « boules ouvertes ou fermées dans un evn ».
Ouverts et fermés dans un evn
Trois exercices sur le thème « ouverts ou fermés d’un espace vectoriel normé ».
Matrices symétriques, produits scalaires
Trois exercices sur le thème « Matrices symétriques et produits scalaires »
Matrices symétriques réelles
Six exercices simples sur le thème « matrices symétriques réelles ».
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Une base orthonormale
Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.