Matrices symétriques, produits scalaires

Exercice 1.
Soit {A}, symétrique réelle d’ordre {n}.
Pour toutes matrices-colonne {X,Y} on pose {\varphi(X,Y)={X}^{\top}AY}.

  1. Exprimer {\varphi(X,Y)} en fonction des composantes de {X} et de {Y} dans une base orthonormée de vecteurs propres de {A}, et en fonction des valeurs propres de {A}.
  2. Montrer que l’application {(X,Y)\mapsto\varphi(X,Y)} définit un produit scalaire si et seulement si toutes les valeurs propres de {A} sont strictement positives.

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Exercice 2.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes.

  • Il existe {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} telle que {A={M}^{\top}M}.
  • La matrice {A} est symétrique et ses valeurs propres sont positives ou nulles.
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Exercice 3.
On considère la matrice {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, de terme général {a_{ij}=\dfrac{1}{i+j-1}}.
Montrer que les valeurs propres de {A} sont strictement positives.
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