Intérieur et adhérence dans un evn

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel normé.
Montrer que tout fermé {X} de {E} peut s’écrire comme l’intersection d’une suite décroissante d’ouverts {\Omega_{n}}.
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Exercice 2.
Soit {X} une partie d’un espace vectoriel normé {E} et soit {\text{int}(X)} l’ensemble de ses points intérieurs.
Montrer que {\text{int}(X)} est le plus grand ouvert inclus dans {X}, et que {\text{int}(X)=X} si et seulement si {X} est ouvert.
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Exercice 3.
Soit {X} une partie de l’espace vectoriel normé {E} et soit {\text{adh}(X)} l’ensemble de ses points adhérents.
Montrer que \text{adh}(X) est le plus petit fermé contenant {X}, et que {\text{adh}(X)=X} si et seulement si {X} est fermé.
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Exercice 4.
Soit {E,F} deux espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit {f\colon E\rightarrow F} une application continue.

  1. Montrer que l’image réciproque par {f} d’un ouvert de {F} est un ouvert de {E}.
  2. Montrer que l’image réciproque par {f} d’un fermé de {F} est un fermé de {E}.

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