Distances dans un evn

Exercice 1.
On munit {\mathbb{R}^{n}} de sa structure euclidienne canonique.
Soit {a,b} distincts dans {\mathbb{R}^{n}}, et {c=\dfrac{1}{2}(a+b)}.
On suppose que {d(x,a)=d(x,b)}.
Montrer que {d(x,c)\lt d(x,a)}.
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Exercice 2.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie, et soit A\subset E, {A\ne\emptyset}.

  1. Pour tout {x} de {E}, soit {d_{A}(x)=\displaystyle\inf_{x\in A}d(x,a)}.
    Montrer que {d_{A}} est continue.
  2. On suppose {A} fermé borné. Montrer : {\forall\, x\in E,\;\exists\, a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}
  3. Montrer que le résultat précédent reste vrai si on suppose seulement {A} fermé.
  4. On suppose que la norme sur E se déduit d’un produit scalaire. On suppose aussi que {A} est fermé convexe. Montrer que : {\forall\,x\in E,\;\exists!\,a\in A,\;d_{A}(x)=\left\|{x-a}\right\|}On le note {\pi_{A}(x)}.
  5. Avec les hypothèses de 4), préciser {\pi_{A}(x)} dans les deux cas suivants:
    {A} est un sous-espace vectoriel de {E}.
    {A} est une boule fermée de {E}.

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